Ensemble fini, cardinal

Définition

Un ensemble  \(E\)  est dit fini lorsque le nombre d’éléments de cet ensemble est fini. 
On appelle ce nombre d'éléments le cardinal de l’ensemble \(E\) . On le note \(\text{Card}(E)\) ou  \(|E|\) .

Exemples

• \(\text{Card}(Ø) = 0\) .
  
• Soit \(A = \{4\}\) l'ensemble formé de l'entier \(4\) . C'est un singleton.
  Son cardinal est \(\text{Card}(A) = 1\) .
  
• Soit \(B\) l'ensemble des diviseurs positifs de \(5\) .  \(B = \{1~;~ 5\}\)  est une paire.
  Son cardinal est  \(\text{Card}(B) = 2\) .
  
• Soit \(C\) l'ensemble des solutions, dans  \(\mathbb R\) , de l'équation \(x^2 = -1\) .
  Alors \(C = Ø\) donc \(\text{Card}(C) = 0\) . 
  
• Soit \(D\) l'ensemble des lettres de l'alphabet français.
  \(A = \{a~;~ b~;~ c~;~ d~;~ …~;~ x~;~ ~y~;~ z\}\) . Son cardinal est \(\text{Card}(A) = 26\) .
  

Remarque

Certains ensembles ne sont pas finis : l'ensemble  \(\mathbb N\) n'est pas fini, l'ensemble \(\mathbb R\) n'est pas fini, l'ensemble \([3~;~ 5]\) n'est pas fini, etc.